圆极点的性质

性质1. 对于一 $⨀O$, 若点 $B$ 在点 $A$ 的极线上, 则点 $A$ 在点 $B$ 的极线上.
此时称 $A$, $B$ 关于 $⨀O$ 共轭.
性质2. $A$, $B$ 关于 $⨀O$ 共轭的充要条件是以 $AB$ 为直径的圆与 $⨀O$正交.
性质3. 设 $P$, $Q$ 调和分割 $AB$, $⨀O$ 是过 $PQ$ 两点的任意圆, 则 $A$, $B$ 关于 $⨀O$ 共轭.
性质4. 从 $P$ (异于圆心) 引一条直线与 $⨀O$ 交于 $A$, $B$ 两点, 与 $P$ 关于 $⨀O$ 的极线交于点 $Q$, 则 $P$, $Q$ 调和分割 $AB$.
性质5. 从 $P$ (异于圆心) 引一条直线与 $⨀O$ 交于 $A$, $B$ 两点, 再引一条直线与 $⨀O$ 交于 $C$, $D$ 两点, $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $Q$, $AD$ 和 $BC$ 相交于点 $R$, 则 $Q$, $R$ 都在点 $P$ 关于 $⨀O$ 的极线上.
定义. 如果一个三角形的顶点是令一个三角形三边所在直线关于同一个圆的极点, 则称两个三角形共轭. 如果一个三角形每个定点都是对边所在直线关于同一个圆的极点, 则称该三角形是自共轭三角形 (或极点三角形).
性质6. 设 $A$, $B$, $C$, $D$ 是同一个圆上的四个点, 若直线 $AB$, $CD$ 相交于点 $P$, 直线 $BC$, $AD$ 相交于点 $Q$, 对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $R$, 则 $△PQR$ 是一个自共轭三角形.
性质7 (极点公式). 凸四边形 $ABCD$ 内接于 $⨀O$, 延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$, 延长 $BC$ 和 $AD$ 相交于点 $Q$, 对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $R$, 设 $⨀O$ 的半径为 $R$, 则
$$\begin{gathered} R{P}^2=O{R}^2+O{P}^2-2R^2 \\ R{Q}^2=O{R}^2+O{Q}^2-2R^2 \\ P{Q}^2=O{P}^2+O{Q}^2-2R^2 \end{gathered}$$
推论: $O$ 是自共轭三角形 (极点三角形) $PQR$ 的垂心.
性质8. 从不在圆上的一点 (异于圆心) $P$ 引3条直线依次交圆于 $A$, $B$, $C$, $D$, $G$, $H$. 直线 $GH$ 与点 $P$ 关于圆的极线交于点 $Q$, 直线 $GH$ 与直线 $AC$, $BD$ 分别交于 $E$, $F$. 则 $P$, $Q$ 调和分割 $EF$.
例1. 四边形 $ABCD$ 内接于 $⨀O$, 直线 $AB$ 和 $CD$ 相交于 $P$, 直线 $AD$ 与 $BC$ 相交于 $Q$, 过 $Q$ 作 $⨀O$ 的两条切线, 切点为 $E$, $F$. 求证: $P$, $E$, $F$ 三点共线.
例2. 设 $△ABC$ 的内切圆 $I$ 与 $BC$, $AC$, $AB$ 分别切于 $D$, $E$, $F$. 直线 $DE$ 与$AB$ 交于 $P$, 直线 $DE$ 与 $AB$ 交于 $Q$, $BE$ 与 $CF$ 交于 $J$. 求证: $IJ\perp PQ$.
例3. 设 $△ABC$ 是一个等腰三角形, $AB=AC$, 假如 $M$ 是 $BC$ 的中点, $O$ 是 $AM$ 上的点, 使得 $OB\perp AB$, $Q$ 是 $BC$ 上不同于 $BC$ 的任意一点, $E$ 在 $AB$ 上, $F$ 在 $AC$ 上, 使得 $E$, $Q$, $F$ 是不同且共线的三个点. 求证: $OQ\perp EF$ 当且仅当 $QE=QF$.
例4. 设 $△ABC$ 的内切圆 $\Gamma$ 切 $BC$ 于点 $D$, $D{D}^{\prime }$ 是 $\Gamma$ 的直径, 过$D^{\prime }$ 作 $\Gamma$ 的切线交 $AD$ 于点 $X$, 过 $X$ 作 $\Gamma$ 的另一条切线, 切点为 $N$. 求证: $△BCN$ 的外接圆与圆 $\Gamma$ 切于$N$.
例5. 证明双心四边形的两个圆心与其对角线的交点共线.
例6. 设 $D$ 是 $△ABC$ 边 $BC$ 上的一点, 满足 $\angle CAD=\angle BCA$, $⨀O$ 经过$BD$ 且分别与$AB$, $AD$ 交于 $E$, $F$, $BF$ 与 $DE$ 相交于 $G$, $M$ 是 $AG$ 的中点. 求证: $CM\perp AO$.