前言

图像变换

• 一维离散变换
• 二维离散变换
• 傅里叶变换
• 离散余弦变换

Matlab学习10-图像处理之傅里叶变换
傅里叶变换
优点：能从空间域和频率域两个不同的角度来看待问信号或图像。
缺点：傅里叶变换的收敛速度慢。

一、离散傅里叶变换

效果

代码

% 离散傅里叶变换示例。显示二维图、对称傅里叶幅度谱图像和傅里叶幅度图对数图像。
fxy=imread("img/F5_11a.bmp");
fxy=rgb2gray(fxy);
subplot(2,2,1),imshow(fxy),xlabel('原始图像');

Fuv=fft2(fxy);
FftShiftAbs=fftshift(abs(Fuv));
subplot(2,2,2),imshow(FftShiftAbs,[]),xlabel('对称傅里叶变换图像');

LogFftShiftAbs=log(FftShiftAbs);
subplot(2,2,3),imshow(LogFftShiftAbs,[]),xlabel('对称傅里叶幅度谱对称图像'),colormap(gray),colorbar;

二、二维离散傅里叶变换

效果

代码

% 二维离散傅里叶变换原理示例，显示二维图、傅里叶变换后的图，对称傅里叶幅度谱图像和他们的三维示意图。
A=1;
X=1;
Y=1;
uu=-1*pi:0.1:1*pi;
vv=-2*pi:0.1:2*pi;
[u,v]=meshgrid(uu,vv);
Fuv=A*X*Y*(sin(pi*u*X).*exp(-j*pi*u*X)./(pi*u*X)).*(sin(pi*v*Y).*exp(-j*pi*v*Y)./(pi*v*Y));

subplot(2,2,1),mesh(u,v,real(Fuv)),xlabel('\itu'),ylabel('\itv'),zlabel('{\itG}({\itu},{\itv})'),title('(a) 傅里叶变换');
subplot(2,2,2),mesh(u,v,abs(Fuv)),xlabel('\itu'),ylabel('\itv'),zlabel('{\itG}({\itu},{\itv})'),title('(b) 傅里叶幅度谱');
subplot(2,2,3),plot(uu,Fuv),xlabel('\itu'),ylabel('{\itG}({\itu})'),title('(c) 傅里叶变换在u轴上的投影'),grid on;
subplot(2,2,4),plot(vv,Fuv),xlabel('\itv'),ylabel('{\itG}({\itv})'),title('(d) 傅里叶变换在v轴上的投影'),grid on;

三、傅里叶级数将周期函数转换为不同正弦波的叠加

效果

代码

% 使用傅里叶级数将周期函数转换为不同正弦波的叠加。
A=2;
x=-5:0.1:5;
%前一次谐波叠代
hold on;
fx1=A/2+2*A/pi*(sin(1*pi*x/2)/1);
fxdd1=fx1;
subplot(2,3,1),plot(x,fxdd1,'k'),xlabel('(a)前一次谐波迭代');

%前两次谐波叠代
hold on;
fx2=A/2+2*A/pi*(sin(1*pi*x/2)/1+sin(3*pi*x/2)/3);
fxdd2=fx1+fx2;
subplot(2,3,2),plot(x,fxdd2,'k'),xlabel('(b)前两次谐波迭代');

%前三次谐波叠代
hold on;
fx3=A/2+2*A/pi*(sin(1*pi*x/2)/1+sin(3*pi*x/2)/3+sin(5*pi*x/2)/5);
fxdd3=fx1+fx2+fx3;
subplot(2,3,3),plot(x,fxdd3,'k'),xlabel('(c)前三次谐波迭代');

%前四次谐波叠代
hold on;
fx4=A/2+2*A/pi*(sin(1*pi*x/2)/1+sin(3*pi*x/2)/3+sin(5*pi*x/2)/5+sin(7*pi*x/2)/7);
fxdd4=fx1+fx2+fx3+fx4;
subplot(2,3,4),plot(x,fxdd4,'k'),xlabel('(d)前四次谐波迭代');

%前五次谐波叠代
hold on;
fx5=A/2+2*A/pi*(sin(1*pi*x/2)/1+sin(3*pi*x/2)/3+sin(5*pi*x/2)/5+sin(7*pi*x/2)/7+sin(9*pi*x/2)/9);
fxdd5=fx1+fx2+fx3+fx4+fx5;
subplot(2,3,5),plot(x,fxdd5,'k'),xlabel('(e)前五次谐波迭代');

%前四十次谐波叠代
hold on;
syms n;
k=symsum(2*A/pi*sin((2*n+1)*pi*x/2)/(2*n+1),0,39);
fxdd80=A/2+subs(k);
subplot(2,3,6),plot(x,fxdd80,'k'),xlabel('(f)前40次谐波迭代'),box off;

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